Tato pomůcka názorně ukazuje, jak se vyjmenovávají čísla přirozená, celá a racionální. Jestliže se dá najít způsob, jak čísla z nějakého číselného oboru postupně vyjmenovávat, můžeme každému číslu ve výčtu přiřadit pořadové číslo a tím dokázat, že vyjmenovávaných čísel je stejný počet jako čísel přirozených. V případě přirozených, celých a racionálních čísel jsou počty čísel ve výčtech nekonečné a obtížně porovnatelné. Intuice mnohdy klame, např. se zdá, že čísel celých musí být zhruba dvakrát víc než přirozených (protože přirozená čísla jsou celá kladná a kromě nich je potřeba započítat i celá záporná čísla, kterých je ještě jednou tolik). Přiřazení pořadových čísel číslům celým však říká, že celých a přirozených čísel musí být stejné množství. A protože se jedná o množství nekonečné, přestávají zde platit zdánlivě samozřejmá pravidla, která se spolehlivě osvědčila u konečných počtů.
O nekonečných množinách, jejichž prvky se dají vyjmenovat a očíslovat, říkají matematici, že jsou nekonečné spočetné. Jestliže se prvky nekonečné množiny nedají systematicky postupně vyjmenovávat a číslovat, mluví se o množinách nekonečných nespočetných. Příkladem množiny nekonečné nespočetné je třeba množina reálných čísel.
Rozdíl mezi spočetnými a nespočetnými množinami je to, oč tu běží.
Tohle je hračka pro malé děti a pro zvířátka jako jsou mravenci, koně a papouškové. Ale někde se začít musí, nejlépe od začátku.
| 0 | ... |
0,...
U celých čísel se musíme utkat s drobnou překážkou: Seřadíme-li celá čísla podle velikosti menší vlevo a větší vpravo, poběží nám do nekonečna doleva i doprava. Jak známo, dva zajíce je těžko honit. Kde začít? Zleva ani zprava to nepůjde, ale zprostředka ano. Jen nesmíme vyjmenovávat napřed kladná čísla s tím, že ta záporná počkají (nebo naopak). Poradíme si tak, že po každém čísle kladném hned vyjmenujeme i příslušné číslo záporné. Tak se budeme probíjet do kladného i záporného nekonečna takřka současně.
| ... | 0 | ... |
0,...
Až potud to šlo snadno, ale racionální čísla jsou tvrdší oříšek. Využijeme toho, že každé racionální číslo se dá vyjádřit jako poměr dvou čísel celých. Budeme tedy vyjmenovávat dvojice celých čísel, ovšem systematicky tak, abychom žádnou dvojici nevynechali. Občas se stane, že vyjmenujeme několik poměrů tvořených sice různými čísly v čitateli a jmenovateli, ale shodnými co do hodnoty, např. 2/2 a 3/3 nebo 1/2, 2/4 a 3/6 apod. Zaprvé to není zásadní chyba (v množině se dva shodné prvky považují za totožné, tj. za tentýž jediný prvek) a za druhé tato vada na kráse se dá otestovat a opravit v konečném čase (jak uvidíte i v následujícím klikacím příkladu). Obtížnějším úkolem je najít postup, jak systematicky vybírat dvojice celých čísel, abychom ke kterémukoli racionálnímu číslu dospěli konečným počtem kroků.
Jak např. můžeme systematicky procházet rovinu, jejíž dva rozměry tradičně bývají vyznačené souřadnicemi x a y? V našem případě pojmenujeme vodorovnou souřadnici čitatel a svislou souřadnici jmenovatel. Chtělo by to nějaký pevný bod ve vesmíru... Kde začít? Nejlepší bude začít v počátku, tam kde se souřadnice kříží. Našíř a nadél vyrazit nemůžeme, to bychom se ztratili někde v nekonečnu. Můžeme ovšem propátrávat napřed blízké a potom vzdálenější okolí počátku cestou ve tvaru soustředných kruhů (případně čtverců) neboli jakousi hranatou spirálou. Vyzkoušejte!
Pozn.: Políčka vyplněná růžovými číslicemi představují hodnoty, které již byly do výčtu zařazeny dříve, a proto se vynechávají. Podobně se vynechávají čísla, která mají v čitateli nebo ve jmenovateli nulu. Pokud jde o nulu v čitateli, nulová hodnota byla do výčtu zařazena hned jako první. A dělit nulou ve jmenovateli se prostě nedá.
| jmenovatel | |||||||
| 3 | |||||||
| 2 | |||||||
| 1 | |||||||
| −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | čitatel |
| −1 | |||||||
| −2 | |||||||
| −3 | |||||||
0,...
Předchozí postup je snad názorný a v principu dobře pochopitelný, ale určitě nepatří k nejjednodušším. My totiž vůbec nepotřebujeme propátrávat všechny čtyři kvadranty souřadného systému. Podobně jako při vyjmenovávání celých čísel, i zde můžeme ke každé dosažené hodnotě racionálního čísla hned vyrobit i hodnotu s opačným znaménkem. V tom případě se můžeme omezit jen na kladné čitatele a kladné jmenovatele (a ve výčtu nevynecháme ani nulovou hodnotu). Vznikne nám něco na způsob ligové tabulky. V lize taky hraje každý s každým, podobně jako my potřebujeme spárovat každého čitatele s každým jmenovatelem. (Duplicity můžeme zanedbat nebo testovat a vynechávat.) Podobně jako v předchozím příkladu, tak ani zde bychom neuspěli procházením našíř a nadél. Vyjdeme tedy zase od počátku, začneme hodnotou nula, a pak budeme procházet tabulku z kouta vlevo dole po úhlopříčkách, které jak se vzdalují od počátku, stávají se delšími a delšími. Vlastně by stačila trojúhelníková tabulka, protože tabulka není nekonečná a jakmile dospějeme nahoru a doprava k posledním zobrazeným jmenovatelům a čitatelům, vyjmenovávání skončí a pravý horní roh tabulky zůstane neprozkoumán. Není to hezké, ale nic horšího se naštěstí neděje.
| jmenovatel | |||||
| 4 | |||||
| 3 | |||||
| 2 | |||||
| 1 | |||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | čitatel |
0,...
Podařilo se nám názorně ukázat, že množina racionálních čísel se dá vyjmenovávat podobně jako množina čísel přirozených a množina čísel celých. To znamená, že všechny tyto tři množiny jsou sice nekonečné, ale spočetné.
Na rozdíl od čísel přirozených, celých a racionálních je množina reálných čísel nekonečná nespočetná. Pokusy o její vyjmenovávání nevedou k jiným než racionálním číslům, protože konečným počtem kroků výpočtu se nedá spočítat žádné iracionální číslo (tj. nekonečný neperiodický rozvoj). Raději to ani nezkoušejte!